動く図形の面積を予想して考えるポイント〜状況を予想する大事さ・描いてイメージ・対象を評価・増える面積と減る面積を比較・具体的に大小を比較・問題 11(5)解法A〜｜中学受験・算数実践74

前回は「動く図形の面積を簡単に考えるコツ〜比較する図形を簡単にする・台形と長方形・減る面積を簡単な図形と比較・問題 11(5)解法〜」の話でした。

問題11(5)（再掲載）

状況を予想する大事さ：描いてイメージ

直角二等辺三角形と台形が重なる部分の面積が「最大となる」時は、上の時と「予想」出来ました。

ただし、これは「なんとなく」の予想なので、この理由を説明する必要があります。

中学以降の数学では、最大・最小は「方程式で立式して計算」することがほとんどです。

「方程式で立式・計算」の場合も、「状況を予想する」ことは大事な姿勢です。

算数・数学に限らず、物理・化学分野の理科でも大事なことです。

実験問題などでも「予想する」ことは大事な力で、今回は図形問題に関して考えます。

動く図形の面積を予想して考えるポイント：対象を評価

「重なる面積が最大」となる状況を予想して、具体的に「増える面積」と「減る面積」を考えました。

「増える面積」と「減る面積」は、ともに台形で面積を求めるのは難しくありません。

ところが、「台形の辺の長さ」が難しいので、「大雑把に考える」を試みました。

「増える面積」を、少し大きめにして「面積の計算が簡単な長方形」と比較しました。

この「少し大きくする」や「少し小さくする」は、「対象を評価する」ことです。

「評価」は数学的な発想ですが、実は受験生の皆さんは「日頃評価されている」のです。

例えば、

と偏差値という数字を受けたり、

など合格判定を受けることは「評価を受けている」ことです。

他には、小学校の通信簿などがありますが、いずれも「評価されている」ことです。

大人や社会人も大変ですが、学生時代は「常に評価されている」のです。

そこで、たまには「評価する」側に回ってみましょう。

ここで「どのように大雑把に評価するか」は、ちょっとしたポイント・コツがあります。

ここで、「大雑把とは？」を考えましょう。

先ほどの、偏差値と合格判定を考えます。

ここでは、どちらが「評価が細かい」でしょうか。

日頃受けている「自分の評価」にも、「細かい評価」と「大雑把な評価」があるのです。

このように考えて、図形などを「大体の状況を考える」を続けましょう。

増える面積と減る面積を比較

増える面積を少し大きめに考えて、長方形の面積と比較しました。

同じように、「減る面積」を少し小さめにしましょう。

ここで、「比較して評価するとき」は「大きいと小さいを意識すること」が大事です。

「増える面積を大きく考えた」ので、今度は減る面積を小さく考えましょう。

増える面積を大きくした面積=S、減る面積を小さくした面積=Tとします。

「S < T」が言えれば、「増える面積 < S < T <減る面積」となります。

先ほどは、「斜め」だったですが、今回は垂直な長方形と比較しましょう。

「減る面積 > 上の図の青色の長方形」です。

面積は簡単に計算できます。

これで「減る面積が6cm2より大きい」事実が分かりました。

具体的に大小を比較

「増える面積 < 4cm2 < 6cm2 <減る面積」が分かりました。

「増える面積を大きくした面積 < 減る面積を小さくした面積」と分かりました。

これで、「10秒後から面積は減ってゆく」のが分かりました。

「1cm右に動く状況」を考えましたが、すれ違うまで「同じことが言える」ことです。

重なる面積が最大となるのは、10秒後と分かりました。

もっと大雑把に考える

具体的に面積を計算しましょう。

Aは直角二等辺三角形で、Bは「正方形+直角二等辺三角形」です。

そこで、直角二等辺三角形がたくさん出てきます。

面積を比較する際に、「簡単な図形を間に入れる」考え方でした。

(3)の結果を利用していますが、「よく分からない①で割る」のは、少し数学的な考え方です。

「算数の領域」を逸脱しているようにも感じます。

そこで、上記の「1/①」を考えずに、もっと大雑把に考えてみましょう。

少し考えてみてください。

続きの話は、次回ご紹介します。