「変化する長さ」を図形的に考えるコツ〜対称性と図形・最小の面積・二次元の面積と一次元の長さ・想像することを楽しむ姿勢・問題10(4)解法B〜|中学受験・算数実践57

前回は「図形の対称性と動く点のコツ〜面積は「長さ・辺の比」・二次元と一次元・対称性から分かること・動く点と動画・予想を検証・問題10(4)解法B〜」の話でした。

目次

問題10(4)再掲載

「変化する長さ」を図形的に考えるコツ:対称性と図形

動く点と正三角形(新教育紀行)

正三角形の対称性から、「BCと平行な直線FPの長さが最小になるのは、点FがABの中点Mの時」と予想できました。

動く点と正三角形(新教育紀行)

今回は、「FPの最小となる位置は、FがABの中点Mの時」を図形的に求めましょう。

前回、「点FとABの中点Mの距離」=①と置きましょう。

少しずつ、図形的に考えてみましょう。

動く点と正三角形(新教育紀行)

まず、正三角形の性質から、下図の部分の長さ(水色)が分かります。

動く点と正三角形(新教育紀行)

今度は、相似形を考えましょう。

上の図で、点PがHCの中点なので、長さが求まります。

少しずつ「目的となるMPとFQの長さの比較」を考えてみましょう。

問題を解く姿勢

・「問題を解くには、Aが分かれば良い」という「Aを考える」姿勢

・「Aを知るためには、どのようなことが分かればよいか」を考える

・少しずつ、着実に答えに近づいてゆく姿勢

ちょっと
難しい・・・

難しく考えすぎないで、分かることを考えてゆきましょう。

動く点と正三角形(新教育紀行)

垂線を下ろしたのがポイントで、上の図のように分かります。

垂線から「同じ長さ」が分かり、それぞれ比較すると、「FQ > MP」が分かります。

やっと
分かったね!

数学ならば、「長さをa,bなど設置」して方程式で比較的簡単に説明できます。

このような「算数的思考」も大事な学力なので、出来ると良いでしょう。

難しいけど、
少しずつ分解するように考えると出来るね!

算数なので、①や□で長さを表現しています。

これらの長さは、自分の好きなように設置してみましょう。

最小の面積:二次元の面積と一次元の長さ

動点と正三角形(新教育紀行)

解法Aでは、正三角形の相似比を考えました。

この時は、正三角形FCHの最小値は求めませんでした。

「三平方の定理」を使えば分かりますが、小学校の範囲外です。

面積の基本から、考えてみましょう。

「高さが同じ」なので、面積は「FPの長さに応じて大きくなったり、小さくなったりする」です。

つまり「正三角形の面積は、FPの長さの変化と同じように変化」します。

次元・次数を意識する発想(算数・理科)

・長さは「cm」「m」など一次元

・面積は「cm2「「m2」 など、「単位に小さな2がつく」二次元

「面積の比較」が「長さの比較」になるので、簡単になります。

最大・最小を考えるとき

・比較する対象の次元を小さくできないか、考える

・面積は「長さx長さ」で二次元、長さは一次元なので、一次元の方が簡単

動く点と正三角形(新教育紀行)

FがABの中点Mの時は、FP=MPの長さは、平均を取れば分かります。

これで、正三角形FCHの面積の最小値は、「正三角形ABCの75%」と分かりました。

想像することを楽しむ姿勢

答え聞いたら分かったけど、
自分でやるのは難しいよ・・・

今回の解き方は、少し難しいです。

そのため、「解答を理解できたらOK」くらいな気持ちで十分です。

解答を読んでわかれば
いいの?

解答例を読みながら、ぜひ手を動かして、図形を考えてみてください。

根気よく考える姿勢

・問題を解く途中で諦めずに、しっかり進めてゆく大事な力

・「こう考えれば解けるはず」という、目標を明確に持つ大事さ

・根気や努力は「将来何かを成し遂げる」ために最も大事な力の一つ

「根気よさ」もまた大事な学力です。

小問などで「誘導付き」なら、こういう問題の出題がありえるでしょう。

対称性(折り返したら同じ)から、予想しましたが、このように

こうかな?

と想像することを楽しみましょう。

想像したことが「違うこと」もあります。

あれ?
違う・・・

間違えたり、違うことがあるのは、当たり前のことですから、どんどん考えましょう。

そういう気持ちを持つことが、算数の学力アップにつながります。

次回は下記リンクです。

新教育紀行

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