前回は「平行の大事な性質と動点P〜平行な直線を見つけたら考えること・変わらない長さを活かす考え方・面積と長さの次元と次数・問題10(4)解法B〜」の話でした。
問題10(4)再掲載
面積は「長さ・辺の比」：二次元と一次元
動く点Fが辺AB上を動く時、出来る正三角形の面積の最小値を考える時、「同じ長さ」に注目します。
・平行な直線同士の錯角は同じ
・錯角が同じ直線同士は平行
・平行な直線同士の長さ・距離は同じ（一定）
「同じ長さ」などは「問題を解く鍵」になることが多いので、見つけたら、
この性質を活用して
問題解けないかな？
と考えましょう。
・変わらない（同じ・一定）の長さ・角度は、「普通ではない」大事な性質
・変わらない（同じ・一定）の長さ・角度を活用することを考える
「面積の最小値を考える」とは「面積を比較する」ことです。
そして、「比較する対象」は「次元・次数が小さい方が楽」です。
・長さは「cm」「m」など一次元
・面積は「cm2「「m2」 など、「単位に小さな2がつく」二次元
図形問題の「面積を求める」時は、大抵「辺の長さの比」を考えます。
そして、いくつかの「辺の長さの比」から「難しい面積も求まる」ことが多いです。
この時も、「面積を考えるときは、次数が一つ小さい辺の長さを考えている」ことになります。
・比較する対象の次元を小さくできないか、考える
・面積は「長さx長さ」で二次元、長さは一次元なので、一次元の方が簡単
今回は、「正三角形の最小値」を考えるために、FPの最小値を図形的に考えてゆきましょう。
対称性から分かること：動く点と動画
正三角形の対称性を考えました。
ここで考えたように、辺AB上の中点Mで折り返しても「同じ」です。
正三角形FCHの面積は、辺AB上を動く点Fが「BMにある時と、AMにある時が同じ」になります。
まず、「点FがBM上にある時を考えれば良い」と分かります。
点Fが、BからAに動いてゆく状況をイメージしてみましょう。
この「動く」のが
難しいよ・・・
「動く」は「辺AB上の全ての点を少しずつ動く」ので難しいです。
問題の図形は止まっているのに、「動画を考える」点が難しい理由です。
動く点が「連続的」ではなく「飛び飛びの位置を移動する」と考えてみましょう。
・1秒間に24枚の写真が連続的に映し出される（枚数は違う場合があります）
・1枚あたり1/24秒=約0.04秒なので、本当は「静止」しているのに、連続的に「動画」に見える
動画は実は「動いていない」のです。
実は「止まっている写真を高速で映写している」から「動いているように見える」だけです。
・連続的に、無限の点を移動するから難しい「動く点」
・代表的な点をいくつか選んで、具体的に描いてイメージする
・代表的、いくつかの点での状況（静止画）がたくさん並んで「動く点=動画」になるイメージ
点Fが頂点Aから中点Mに動いてゆく過程は、「点Fがある点を進むことの繰り返し」と考えましょう。
その過程と中点Mから頂点Bに動いてゆく過程を逆にした状況が「同じ」になります。
すると、、正三角形FCHの面積が最小となるのは
中点Mの時では
ないか？
と、想像できます。
つまり、FPの長さが「Fが中点Mの時に最小となる」と予想できます。
予想を検証：垂線の性質
では、「F=中点Mの時、MPが最小」を検証・確認してみましょう。
そのためには、上の図のように描いてみましょう。
そして「F中点Mの時、そうでない時」の「FPを長さ」を図形的に考えてみましょう。
矢印の話から「AH、MP、FQ、BCが平行」なことが分かります。
「平行」が出てくれば、相似形がたくさん見えてきますから、考えやすくなります。
平行がたくさんあると嬉しいけど、
たくさんありすぎだよ・・・
こんなにたくさんあると
混乱してしまう・・・
難しく考えすぎず、「注目する二つの線」を中心に考えましょう。
「図形的に最小・最大」を考えるときは、自分なりに「ある部分の長さ」を設定してみましょう。
今回は、「点Fと中点Mの距離を①」と設定します。
これで、「F=中点Mの時、FPが最小」を考えてみましょう。
上図の垂線（垂直に下ろした線）がヒントです。
