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算数実践56〜問題 10(4)予想してみよう〜|中学受験の算数

前回は「算数実践55〜問題 10(4)何に注目するか?〜」の話でした。

今回は、FPの最小値を図形的に考えてゆきましょう。

目次

問題10(4)再掲載

対称性から見えてくるコト

正三角形の対称性を考えました。

ここで考えたように、辺AB上の中点Mで折り返しても「同じ」です。

そこで、正三角形FCHの面積は、辺AB上を動く点Fが「BMにある時と、AMにある時が同じ」になります。

まず、「点FがBM上にある時を考えれば良い」と分かります。

点Fが、BからAに動いてゆく状況をイメージしてみましょう。

すると、点Fが、頂点Aから中点Mに動いてゆく過程と、中点Mから頂点Bに動いてゆく過程を逆にした状況が「同じ」になります。

ですから、正三角形FCHの面積が最小となるのは「中点Mの時ではないか?」と想像できます。

つまり、FPの長さが「Fが中点Mの時に最小となる」と予想できます。

予想を検証・確認しよう

では、「F=中点Mの時、FPが最小」を検証・確認してみましょう。

そのためには、下の図のように描いてみて、「F中点Mの時、そうでない時」のFPを長さを図形的に考えてみましょう。

矢印の話から「AH、MP、FQ、BCが全て並行」なことが分かります。

「並行」が出てくれば、相似形がたくさん見えてきますから、考えやすくなります。

「図形的に最小・最大」を考えるときは、自分なりに「ある部分の長さ」を設定してみましょう。

今回は、「点Fと中点Mの距離を①」と設定します。

これで、「F=中点Mの時、FPが最小」を考えてみましょう。

上図の垂線(垂直に下ろした線)がヒントです。

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