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算数実践 9 〜問題4(図形)(1)解法〜|中学受験の算数

前回は「算数実践 8 〜問題4(図形)〜」でした。

まず(1)を考えましょう。

目次

問題4(再掲載)

下記の正六角形ABCDEF(面積10cm2)において、BG=HE、GI : IC =2 : 3です。

下記面積求めて下さい。

(1) △DIJの面積

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対称性のある図形の大事なポイント

まずは問題文の比を書きながら、考えます。

正方形・正三角形など「正〜角形」のように対称性のある図形・円は、中心に注目しましょう。

そして、まずは中心を通る直線を引きましょう。

対称性のある図形で、中心と中心を通る直線(縁の場合は直径)は非常に大事です。

本文ではADに線を引き、図形の中心Pを押さえます。

正六角形の対称性から、AB=BC=CD=DE=EF=FA=AP=PDです。

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相似形をまず探そう

ここで、「相似三角形はないかな」と探します。

平行な辺が多いので、相似三角形は沢山見つかりますね。

たくさん相似形が出てくる時は、相似三角形の中で特殊な場合=同じ(合同)三角形も探してみましょう。

下図の水色と緑の三角形は、CD=PD、ID共通、それらの辺が挟む角度が30度で一緒です。

△CDIと△PDIは同じ(合同)です。(二辺挟角)

f:id:Yoshitaka77:20211022163537j:plain

辺の長さの比を考えよう

これで一気に「見えて」きます。

△BGIと△DPIは相似なので、BG : PD =2 : 3です。

f:id:Yoshitaka77:20211022163544j:plain

上図の通り、様々な辺の比が分かります。

あとは基本となる三角形の面積から、辺の比をもとに面積を求めます。

いくつか考えられますが、基準となる「分かりやすい図形」として△BPD=△FPDを考えてみましょう。(上図の緑と水色)

これらの三角形の面積は対称性から10×1/6なので、下図の通りになります。

f:id:Yoshitaka77:20211022163554j:plain

二つの三角形の面積を合計して、答えは9/4です。

(2)は、きちんと相似三角形と辺の比を考え、正確に解答を進めてゆく力が試されます。

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