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算数実践50〜問題 10(4)公式を考えてみよう〜|中学受験の算数

前回は「算数実践49〜問題 10(4)公式を理解しよう〜」の話でした。

今回は、面積比の公式を考えて、しっかり理解しましょう。

目次

問題10(4)再掲載

面積比を描いて理解しよう

前回は、相似形の面積比を考えました。

「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」は、きちんと説明できますか。

例えば、相似比が 1: 3 の場合は、辺の長さが3倍になります。

全体的に、3倍になるので「面としては3×3=9倍に広がる」雰囲気を感じてください。

きちんと説明するなら、三角形の面積を考えるために、垂線を引いてみましょう。

これらの垂線の長さの比はどうなりますか?

相似形ですから、垂線の長さも1 : 3 になりますね。

そうすると、面積は下記のように計算できます。

これで、三角形の場合は「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」が、はっきり分かりましたね。

四角形の相似形の面積比は?

四角形の場合はどうなりますか?

これは「辺の比に応じて、面が広がってゆく」イメージで、同様に「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」と分かりますね。

しっかり考えてみましょう。

少し歪な四角形同士が相似形で、辺の比=1 : 3 です。

直感的には「同じはず」ですが、きちんと説明できますか?

少し考えてみましょう。

大きくなったら、分割してみましょう。

二つの三角形に分けました。

こうなると、先ほどの三角形の場合と一緒ですね。

それぞれの三角形の面積比が1 : 9 となります。

すると「それぞれの三角形を足しても面積比=1 : 9」になります。

小さく分けてみよう

こうして考えると、五角形でも六角形でも「三角形に分割」すれば、同じように面積比が考えられますね。

「小さく分ける」ことは非常に本質的なことで、分かりやすくなります。

分けてみると対象が小さくなって、考えやすくなります。

日常にある階段も「小さく分割する」の考え方で、作られています。

「一階から二階に一気に上がることは出来ない」ので、階段の段ごとに「高さを分割」すれば「上がれる」ようになります。

図形に限らず、文章題でも「分けてみたらどうかな?」と考えることは、解く鍵が見つかる可能性があります。

やってみましょう。

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