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算数実践 4 〜問題 2(図形)図形問題は自分で世界を広げて考えてみよう!〜|中学受験の算数

前回は「算数実践 3 〜典型図形問題を異なる視点で考えてみよう!2」でした。

今回は、三角形の相似比から考えます。

目次

問題2(再掲載)

下記の三角形ABCにおいて

BP : PC = 4 : 3

CQ : QA =3 : 5

AR : RB = 2 : 3

の時、下記を求めなさい。

(2) AS : SPの整数比

f:id:Yoshitaka77:20211015104503j:plain

(2)解法A

f:id:Yoshitaka77:20211016072059j:plain

なかなか相似三角形が見えません。

図形問題は「与えられた図形の中だけ」で考える必要はありません。

図形の外に飛び出して、新しい三角形を作ってみましょう!

f:id:Yoshitaka77:20211018110129j:plain

RQとBCの延長線の交点をZとします。

これによって、△BRZが現れ、相似三角形が見えてきました。

まずは、△BRZにおいて、BP : PC : CZの比を考えましょう。

f:id:Yoshitaka77:20211018110139j:plain

上図に置いて、CからABに平行な直線を引き、水色の相似三角形を考えて、辺の比が求まります。

f:id:Yoshitaka77:20211018110156j:plain

そして、△BRZと上図水色の三角形が掃除ですので、BZ : CZ =5 : 2となります。

辺BZにおいて、比を整理して、下図の通りBP : PC : CZが求まります。

f:id:Yoshitaka77:20211018110205j:plain

最後に、△BRZと上図水色の三角形が相似ですので、辺の比が求まり、下記の通り、AS : SPが求まります。

f:id:Yoshitaka77:20211018110212j:plain

色々考えてみよう

(2)に関しては解法Bの方が考え方は易しいですが、計算が大変です。

解法Aは、丁寧な説明を心がけましたために図が多くなりました。

慣れれば相似三角形を自分でどんどん作り、計算は比較的簡単でしょう。

解法Aの方が時間は短く済むでしょう。

異なる視点で説いてみましたが、解法Aで大事なことは「図形の外に飛び出す」ことです。

問題の世界は、出題者の決めた中で完結しなくても良いのです。

特に図形問題は、自分で世界を広げて考えてみましょう。

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