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算数実践 2 〜問題 2(図形) 典型図形問題を異なる視点で考えてみよう!〜|中学受験の算数

前回は「算数実践 1 〜様々な視点で図形問題を考えよう〜」でした。

今回も図形問題を考えてみましょう。

目次

問題2

下記の三角形ABCにおいて

BP : PC = 4 : 3

CQ : QA =3 : 5

AR : RB = 2 : 3

の時、下記を求めなさい。

(1) RS : SQの整数比

(2) AS : SPの整数比

f:id:Yoshitaka77:20211015104503j:plain

解法A

三角形の問題は相似三角形ができるように補助線を引いて、辺の比を求めるのが基本的考え方です。

f:id:Yoshitaka77:20211015104516j:plain

RとQを通りBCに平行な補助線を引けば、△ABP、△APCそれぞれの相似形が見えます。

f:id:Yoshitaka77:20211015104524j:plain

あとは相似比を考えて、それぞれの青線の長さが出て、二つの青い三角形の相似比を考えれば、RS : SQは出ます。

答えは64 : 75です。

解法B

三角形の面積比に着目しましょう。

「辺を共有する三角形の面積比 = 高さに相当する辺の長さの比」です。

f:id:Yoshitaka77:20211015181113j:plain

青と赤の三角形に着目すると、辺APを共有しています。

f:id:Yoshitaka77:20211015181136j:plain

それぞれの三角形の面積比は、△ABCの面積を1とすると、上図のようになり、

RS : SQ = △ARP : △AQPで求まります。

色々な補助線を試してみよう

解法AもBも共に本質的な考え方です。

個人的にはAがオススメですが、Bも面積と辺が関係する点では非常に有効です。

三角形の問題では、どれかの辺に平行な補助線をサッと引いて考えてみるのが良いでしょう。

(2)は似た問題ですが、いかがでしょうか。

解法Bと同様に考えると取り組みやすいですが、計算が少し大変です。

Aと同様には考えられますか?

補助線を引いても、なかなか相似三角形が見えてきませんが、少し考えてみてください。

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