動く点・動点と新たに出来る正方形の軌跡のコツ〜正方形の性質・仲間の点同士と線同士を探す姿勢・同じ図形と相似形を探す・「固定の点」を基準に考える・問題14(3)解法〜｜中学受験・算数実践95

前回は「動く点と図形を理解するポイント〜新たに出来る正方形の特徴・図形の特徴を探る姿勢・直線と角度に注目・正方形の作り方・平行移動と90度回転・矢印の考え方・問題14(2)(3)解法〜」の話でした。

問題14(1)(2)(3)（再掲載）

動く点・動点と新たに出来る正方形の性質

もともとある正方形ABCDの辺CDを動く点Pと共に、新たに正方形R0BP0Q0が出来ます。

それらの正方形R0BP0Q0に「共通する性質」二つに気付きました。

今回の問題の主役である正方形には大事な性質があります。

前回は「矢印」を考えて、二つの性質のうち、一方の性質が成立することを図形的に説明しました。

正方形・正三角形など、正〜角形にはたくさんの性質があります。

方眼紙の基本単位・セルでもある正方形は、非常に大事な図形です。

非常に大事で、非常に身近な正方形の性質は、しっかり復習して理解しておきましょう。

仲間の点同士と線同士を探す姿勢：同じ図形と相似形を探す

「なんらかの性質がある」時は、「同じ直線上にある」ことは一つのポイントです。

図形の問題で「何か性質を探す」時は、

と探すと良いでしょう。

「何かの点が同一直線上」を探すのは、「何かの辺が平行」であることを探す姿勢に似た面があります。

ある点同士が「同一直線上にある」や「ある線同士が平行」という性質は、それらが「同じグループ」です。

つまり、「点同士・線同士がお友達」であるイメージを持ちましょう。

そして「仲間・友達同士の点・線を見つける・つくる」ことが大事です。

すると「同じ図形・相似形を見つける・つくる」姿勢につながり、図形攻略のポイントになります。

新たに出来る正方形の軌跡を追いかける

今回は、（2）の答えの前半部を説明することを考えます。

前回と同様にBP1を基準に、「どのように正方形R1BP1Q1」が出来るかを矢印で考えましょう。

今回は「Q1の動き」を知りたいので、「BR1を平行移動して、P1Q1をつくる」を考えます。

正方形をつくる一つの方法は「ある辺をある辺と平行にある辺の長さ」移動すればできます。

基準となる△BCP1を矢印で考えた図形を「90度回転させて、平行移動」させます。

これで、Q1の位置がわかりました。

三つの黄色の三角形は全て同じ「直角三角形」であることが分かります。

ここで、新たに出来た直角三角形の直角部分の点に名前をつけます。

ここでは「H1」としますが、好きな名前で良いです。

他のP1,Q1,R1と同様にH1も「Pの動きに合わせて、H0,H2・・・」とできるイメージです。

動く点・動点の軌跡のポイント：「固定の点」を基準に考える

前回「点R0,R1・・・」の動きを追いかけた時を考えましょう。

この時、分かりやすかった理由があります。

この時は、「点R0,R1・・・」を「追いかける基準となる点Bが固定」であることがポイントでした。

そこで、今回は「動く点が基準」なので「固定の点を基準」にするように考えましょう。

もう一度「そもそも矢印の三角形」を考えましょう。

そして、動く点PがP0,P1,P2・・・と動く様子をイメージして、描いてみましょう。

ここで、大事な性質に気づきます。

「CP1とD(P3)H1が同じ長さ」であることです。

ここで、これまで考えていた「黄色の直角三角形」から、上の緑色の直角三角形を考えます。

黄色の直角三角形は「動く点P1が基準」でしたが、緑色の直角三角形は「固定点Dが基準」です。

同じように考えると、他の点P2やP3に対応する点Q2,Q3でも同じことが成立します。

これで、図形的に「点D、Q0、Q1、Q2、Q3は全て（同一）の一直線上にある」が説明出来ました。

このように動く点・動点は、「固定された点からの位置関係」を考えれば分かります。

「難しいイメージ」の図形の動く点は、基本的性質を押さえて「固定点との関係」を考えましょう。